Родился 11 ноября 1946 года в Москве в семье военного лётчика. В 1964 году, по окончании московской средней школы № 476, поступил на энергомашиностроительный факультет Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана по специальности «Вакуумная техника электрофизических установок». По окончании МВТУ, с апреля 1970 года работал инженером 502-го отдела ЦКБЭМ, занимаясь проектированием исполнительных органов для двигательной установки системы ориентации и причаливания космического корабля, а позднее — разработкой системы его дозаправки топливом по программе построения долговременной орбитальной станции. В 1972 году, после изготовления учебно-тренировочного макета системы и проведения ряда испытаний, Соловьёву было поручено обучить космонавтов работе с ней. Его учениками стали лётчики-космонавты, проходившие подготовку к полётам на орбитальную станцию «Салют-7». Среди них — Георгий Гречко, Владимир Коваленок, Валерий Рюмин, Александр Иванченков, Владимир Джанибеков и другие. С августа 1973 года работал инженером-конструктором (с января 1978 — старшим инженером) в различных отделах ЦКБЭМ. До марта 1975 года занимался созданием системы исполнительных органов двигателей ориентации для лунных орбитальных и посадочных кораблей и для космического корабля «Союз Т», затем занимался системами дозаправки, а с апреля 1977 года разрабатывал бортовую документацию по объединённой двигательной установке и системе дозаправки.
В начале декабря 1978 года был зачислен в отряд космонавтов НПО «Энергия» на должность космонавта-испытателя. До 1980 года проходил подготовку на базе НПО «Энергия», затем до сентября 1981 года — в Центре подготовки космонавтов в составе группы для полёта на орбитальную станцию «Салют-7». Участвовал также в разработке и испытаниях космической техники. В сентябре 1981 года Владимира Алексеевича назначили заместителем начальника 191-го отдела НПО «Энергия». В это же время он начал подготовку к полёту на орбитальной станции «Салют-7» по советско-французской программе экспедиции посещения в качестве бортинженера второго экипажа космического корабля «Союз Т-6» (вместе с Л. Кизимом и П. Бодри). В июне 1982 года был дублером бортинженера космического корабля «Союз Т-6» А. Иванченкова. С сентября 1982 по май 1983 года проходил подготовку в качестве бортинженера основного экипажа экспедиции посещения орбитальной станции «Салют-7» (вместе с Л. Кизимом и И. Волком). Однако из-за неудачного полёта корабля «Союз Т-8» дальнейшая программа полётов была изменена. В связи с этим Владимира Соловьева перевели на подготовку к длительному полёту по программе основной экспедиции на орбитальную станцию «Салют-7». С июня по сентябрь 1983 года он вместе с Л. Кизимом проходил подготовку в качестве бортинженера второго экипажа корабля «Союз Т-10-1», был дублёром Г. Стрекалова. А с октября 1983 по январь 1984 года — по программе третьей основной экспедиции в качестве бортинженера первого экипажа.
В декабре 1984 года Владимира Соловьёва назначили начальником 191-го отдела НПО «Энергия», а в марте 1985 года — заместителем руководителя комплекса. Он вёл работы по подготовке к управлению орбитальным комплексом «Мир» и, одновременно, оставаясь космонавтом-испытателем 2-го класса, проходил подготовку к полёту по программе первой основной экспедиции на орбитальной станции «Мир» и по программе экспедиции посещения на станции «Салют-7» в качестве бортинженера первого экипажа.
В декабре 1986 года космонавта-испытателя 1-го класса Владимира Алексеевича Соловьёва назначили на должность руководителя комплекса лётно-космических испытаний НПО «Энергия» имени С. П. Королева. С апреля 1988 по 1990 год и с февраля 1994 до 23 марта 2001 года работал руководителем полёта орбитального комплекса «Мир». Под руководством и при непосредственном участии В. А. Соловьева была создана принципиально новая система управления длительными космическими полётами, основанная на обработке и передаче по большому количеству каналов связи огромных массивов цифровой информации и способная выдавать управляющие воздействия на постоянно растущее число объектов управления. В 1995 году В. А. Соловьёв защитил докторскую диссертацию, в которой он обобщил опыт разработки и практического использования методов управления полётом орбитального комплекса «Мир». На базе выполненных профессором В. А. Соловьевым исследований был подготовлен и составлен курс лекций по управлению космическими полётами, который с 1995 года читается им в МГТУ имени Н. Э. Баумана.
С августа 1989 года — инструктор-космонавт-испытатель 1-го класса; отчислен из отряда космонавтов 18 февраля 1994 года в связи с уходом на пенсию по выслуге лет. С 1990 года В. А. Соловьёв занимает должность руководителя полётами разгонных блоков типа ДМ. С декабря 1998 года является заместителем директора программы МКС по управлению, а с января 1999 года одновременно был назначен руководителем полёта спутников связи серии «Ямал»; возглавляет научно-исследовательские работы по разгонным блокам, в частности по программе «Морской старт», работал руководителем российского сегмента МКС.
6 августа 2007 года В. Соловьёв был назначен первым заместителем генерального конструктора, заместителем руководителя ГКБ по лётной эксплуатации, испытаниям ракетно-космических комплексов и систем ОАО «РКК „Энергия“ имени С. П. Королева.»
С конца 2007 года — заведующий кафедрой СМ3 МГТУ им Н. Э. Баумана.
1-я экспедиция
С 8 февраля по 2 октября 1984 года В. Соловьёв совершил свой первый полёт в космос в качестве бортинженера космического корабля «Союз Т-10» — «Союз Т-11» (вместе с Л. Кизимом и О. Атьковым) на орбитальную станцию «Салют-7». В ходе полёта, продолжавшегося 236 суток 22 часа 49 минут, он совершил 6 выходов в открытый космос общей продолжительностью 22 часа 50 минут для установки дополнительной солнечной батареи и ремонта объединённой двигательной установки станции, работал совместно с двумя экспедициями посещения.
2-я экспедиция
С 13 марта по 16 июля 1986 года совершил второй полёт в космос в качестве бортинженера космического корабля «Союз Т-15» (вместе с Л. Кизимом) на орбитальные станции «Салют-7» и «Мир». За время полёта, продолжительность которого составила 125 суток, экипаж установил ряд мировых рекордов в области пилотируемой космонавтики, официально зарегистрированных Международной авиационной федерацией. В ходе экспедиции экипаж выполнил расконсервацию базового блока орбитальной станции «Мир», принял и разгрузил два грузовых корабля «Прогресс», установил привезённое оборудование на новой станции, подготовив её к полёту в беспилотном режиме. Перед экипажем стояла задача перенести с орбитальной станции «Салют-7», которая должна была завершить полёт, оборудование и другие ценные предметы, которые могли бы пригодиться в дальнейшей работе, на станцию «Мир». Для её выполнения экипаж корабля «Союз Т-15» впервые в мире осуществил уникальный межорбитальный перелёт с одной орбитальной станции («Мир») на другую («Салют-7») и обратно. Владимир Соловьёв совершил два выхода в открытый космос общей продолжительностью 8 часов 50 минут для развёртывания и испытания раздвижной фермы. В общей сложности со станции на станцию было перевезено более 800 килограммов грузов.
За два рейса в космос Владимир Соловьёв налетал 361 день 22 часа 49 минут 56 секунд.
В. А. Соловьёв является автором и соавтором многих научных трудов и публикаций: