Родился 13 мая 1942 года в селе Искандер Бостанлыкского района Южно-Казахстанской области Казахской ССР (ныне посёлок городского типа Ташкентской области Узбекистана) в семье служащего Александра Крысина (женившись, взял фамилию супруги). Русский. В 1960 году окончил Ташкентское суворовское училище. Не пройдя по конкурсу в военное училище, поступил на физический факультет Ленинградского государственного университета, но через год, выдержав вступительные экзамены в Ейское высшее военное авиационное училище лётчиков, стал курсантом.
По окончании училища в 1965 году, служил лётчиком-инструктором в ВВС СССР.
30 апреля 1974 года был назначен космонавтом 3-го отдела программы ЭПАС 1-го управления.
С 1970 года — в отряде космонавтов. Прошёл полный курс общекосмической подготовки и подготовки к космическим полётам на КК типа «Союз» и ОС типа «Салют».
Самый опытный космонавт СССР, совершивший наибольшее число космических полётов — пять, причём все — в качестве командира корабля.
Первый полёт на корабле «Союз-27» (командир корабля) и орбитальной станции «Салют-6» (10—16 января 1978 года). Продолжительность полёта 5 суток 23 часа.
Второй полёт на корабле «Союз-39» и орбитальной станции «Салют-6» (22—30 марта 1981 года).
Третий полёт на корабле «Союз Т-6» и орбитальной станции «Салют-7» (24 июня — 2 июля 1982 года).
Четвёртый полёт в качестве командира корабля на корабле «Союз Т-12» и орбитальной станции «Салют-7» (17—29 июля 1984 года). Пребывание в открытом космосе 3 часа 35 мин.
Пятый полёт в качестве командира на корабле «Союз Т-13» и орбитальной станции «Салют-7» (6 июня — 26 сентября 1985 года). Продолжительность полёта 115 суток. Считается самым сложным с технической точки зрения полётом в истории отечественной космонавтики. После сбоя основного оборудования командной радиолинии и выдачи неверных команд из ЦУПа, станция «Салют-7», вследствие сбоя по питанию, перешла в полностью неуправляемый полёт. Для восстановления контроля над станцией была отправлена экспедиция на модифицированном под эти цели корабле «Союз Т-13» в составе Джанибекова и Савиных. С корабля были сняты система автоматической стыковки и кресло третьего космонавта, были улучшены средства визуального наблюдения для осуществления ручной стыковки, установлен лазерный дальномер и размещены дополнительные запасы воды, питания и кислорода. Подвод корабля к станции был осуществлён при участии наземных и космических средств системы ПРО, что доказало, в том числе, принципиальную возможность взаимодействия с любыми космическими объектами.
За успешное выполнение задач этого полёта Джанибеков получил звание генерал-майора авиации. Интересно отметить, что второй пилот Савиных за этот полёт получил вторую звезду Героя, а командиру Джанибекову звезду не дали, потому что у него уже были две. Трижды Героев среди космонавтов не бывает.
С 1985 по 1988 год командир отряда космонавтов Центра подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина.
С 1988 по 1997 год начальник Управления теоретической и научно-исследовательской подготовки Центра подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина.
С 1970 по 1991 год — член КПСС.
На выборах Государственной думы 1995 года возглавлял (вместе с Ириной Хакамадой и Роланом Быковым) избирательный блок Общее дело.
Действительный член Международного Леонардо-клуба.