Родился в 1922 году в посёлке Чистяково, ныне город Торез Донецкой области (Украина) в семье рабочего. Украинец.
Позднее семья переехала в город Шахты Ростовской области. Там Косенко окончил среднюю школу № 1. Учился в Шахтинском аэроклубе.
В Военно-Морском Флоте — с 1940 года. Окончил Ейское военно-морское авиационное училище в 1942 году. В Великой Отечественной войне, на которую был призван Донецким ОВК, принимал участие с ноября 1942 года. Член КПСС с 1943 года.
Начал службу в звании сержанта в 73-м пикирующем бомбардировочном авиационном полку ВВС Краснознамённого Балтийского флота, вооружённом пикирующими бомбардировщиками «Пе-2». Воевал в эскадрилье, которой с мая 1943 года командовал прославленный лётчик, дважды Герой Советского Союза — В.И. Раков. За мужество и героизм, проявленные личным составом при снятии блокады Ленинграда, 73-й пикировочно-бомбардировочный авиаполк военно-воздушных сил Краснознаменного Балтийского флота 22 января 1944 года был преобразован в 12-й гвардейский. В феврале 1944 года Косенко стал заместителем командира эскадрильи.
Заместитель командира эскадрильи гвардии старший лейтенант Ю.Х. Косенко погиб 17 мая 1944 года при нанесении бомбового удара по кораблям противника в финской военно-морской базе Хамина. На его счету — 94 боевых вылета в тыл и на боевые позиции врага.
Похоронен в деревне Шепелево Ломоносовского района Ленинградской области.