Родился 24 сентября 1932 года в деревне Варваровка Нижне-Волжского края (ныне не существует, территория Хвалынского района Саратовской области). С 1933 года жил в городе Горький (ныне — Нижний Новгород). В 1949 году окончил Горьковскую спецшколу ВВС.
В армии с августа 1949 года. В 1952 году окончил Омское военное авиационное училище лётчиков и Высшую офицерскую авиационно-инструкторскую школу (город Грозный). Был на лётно-инструкторской работе: в Омском военном авиационном училище лётчиков (1952—1953), в Энгельсском (Тамбовском) военном авиационном училище лётчиков (1953—1957), в Камышинском военно-морском авиационном училище лётчиков (1957—1959). С июня 1959 года капитан С.Т.Агапов — в запасе.
В 1960 году окончил Школу лётчиков-испытателей, в 1966 году — Московский авиационный институт.
В 1960—1988 — лётчик-испытатель ОКБ А. Н. Туполева. Поднял в небо и провёл испытания опытного сверхзвукового перехватчика Ту-128ЛЛ (в 1964 году), сверхзвукового стратегического бомбардировщика Ту-160 (в 1981—1986 годах). Провёл испытания реактивных пассажирских самолётов Ту-134А и Ту-154, а также реактивного бомбардировщика Ту-16К на критических режимах; выполнил большой объём испытательных работ на первом в мире сверхзвуковом пассажирском самолёте Ту-144.
Жил в городе Жуковский Московской области. Умер 4 мая 2006 года. Похоронен на Быковском кладбище в Жуковском.
Установил 14 мировых авиационных рекордов: