Родился 6 июля 1909 года в деревне Боровцы Новогрудского уезда Минской губернии (ныне Барановичского района Брестской области Республики Беларусь) в крестьянской семье. Белорус.
В годы Первой мировой войны семья Грицевца перебралась в посёлок Шумиха Курганской области, где прошли его детство и юношеские годы. Здесь же, по окончании школы-семилетки, Сергей работал на железной дороге, и отсюда в 1927 году он уехал в город Златоуст Челябинской области.
В 1927—1931 годах жил в Златоусте, работал слесарем на механическом заводе, был секретарём заводского комитета комсомола, избирался делегатом 1-го съезда ударников.
С 1 апреля 1931 года — курсант Оренбургской школы лётчиков, которую он и закончил в 1932 году. Командовал звеном, отрядом, полком, был инструктором-лётчиком в военном училище.
В 1937 году Грицевец вызвался добровольцем для участия в Гражданской войне в Испании, где воевал до 1938 года (командировка длилась с 10.06.1938 по 26.10.1938), именно в этот год были отозваны все советские пилоты.
Летал на истребителе И-16. В советской исторической и пропагандистской литературе широко озвучено число побед Грицевца в Испании — 30 личных побед и 7 — в группе с другими лётчиками. Подтверждений этим данным на основании документов, или даже простого перечня побед С. И. Грицевца никогда не публиковалось. В 2005 году издана книга С. Абросова «В небе Испании», где на основании сохранившихся документов всех воюющих сторон восстановлены все воздушные бои Гражданской войны в Испании, а также впервые опубликованы многие архивные документы. Согласно этим сведениям, в Испании С. И. Грицевец совершил 88 боевых вылетов, провёл 42 воздушных боя, сбил 7 вражеских самолётов лично. Это очень высокие боевые результаты, за которые ему совершенно справедливо присвоено звание Героя Советского Союза 22 февраля 1939 года.
29 мая 1939 группа из 48 опытных пилотов под командованием Героя Советского Союза Якова Смушкевича, среди которых был и Грицевец, была откомандирована в Монголию в район боевых действий на реке Халхин-Гол. Основной задачей группы являлось завоевание господства в воздухе, ранее захваченного японской авиацией. Здесь Грицевец совершил 138 боевых вылетов, участвовал в около 30 воздушных боях против японских самолётов. 26 июня, во время боя под Халхин-Голом, Грицевец посадил свой И-16 недалеко от самолёта своего командира части, майора В. Забалуева, упавшего из-за поломки двигателя глубоко на вражеской территории, на 60 километров вглубь линии обороны японцев. Забалуев залез в самолёт Грицевца и был вывезен им. За спасение своего командира от плена и другие героические поступки, 29 августа 1939 года, майору авиации Грицевцу было присвоено звание Дважды Героя Советского Союза. Вместе с Г. П. Кравченко он стал первым из дважды Героев Советского Союза. За всё время воздушных боёв на Халхин-Голе (июнь — август 1939) Грицевец сбил лично 11 самолётов (все победы являются подтверждёнными). Кроме того, он был вторично награждён орденом Красной Звезды.
12 сентября 1939 Грицевец и 20 других пилотов были отозваны на Украину для подготовки к Польскому походу РККА, который начался 17 сентября 1939. Грицевец трагически погиб 16 сентября 1939 года во время военных учений РККА на аэродроме Болбасово, рядом с Оршей, когда его аэроплан был протаранен самолётом другого лётчика во время руления перед взлётом.
За всё время участия в боевых действиях Грицевец сбил по достоверным данным, 18 самолётов, а по официально не подтверждённым данным — 42 самолёта.
Похоронен в городском посёлке Болбасово.