Лауреат Ленинской (1962) и Сталинской премии второй степени (1951). Член ВКП(б) с 1950 года.
Родился 18 декабря 1916 года в городе Новозыбков Черниговской губернии (ныне Брянской области), в семье учительницы и агронома. В 1933 году семья переезжает в Горький.
В 1935 году поступил в Горьковский индустриальный институт имени Жданова (ныне Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева) на кораблестроительный факультет (ныне факультет Морской и авиационной техники). 1 октября 1941 года защитил дипломную работу «Глиссер на подводных крыльях»; госкомиссией Алексееву было присвоено звание инженера-кораблестроителя. После защиты молодой инженер был направлен на завод «Красное Сормово», где с 1941 по 1943 годы работал в должности контрольного мастера выпуска танков.
В 1942 году принимается решение о выделении ему помещения и людей для работы по созданию боевых катеров на подводных крыльях. В идею Алексеева поверило управление кораблестроения ВМФ, и ему были выделены средства. Катера Алексеева не успели принять участия в боевых действиях, но созданные им модели убеждали в возможности успешной реализации идеи.
В 1951 году Алексеев и его помощники за разработку и создание судов на подводных крыльях были удостоены Сталинской премии второй степени. Коллектив начинает работать над невиданным до тех пор пассажирским судном на подводных крыльях (СПК), получившем символическое имя «Ракета». Летом 1957 года Алексеев представил «Ракету» на суд мировой общественности, приведя корабль в Москву в дни Международного фестиваля молодёжи и студентов. С этого момента в мире началось скоростное судостроение. Катера «Волга», «Метеор», «Комета», «Спутник», «Буревестник», «Восход» — ежегодно новый проект и каждый — лучший. В 1961 году десять сотрудников во главе с Алексеевым получают Ленинскую премию за создание нового транспортного средства.
В 1962 году в ЦКБ началась работа по созданию экраноплана КМ для ВМФ, а в 1964 году — над проектом экраноплана Т-1 для воздушно-десантных войск. Первый должен был летать на высотах в несколько метров, а второй — до высоты 7500 м. 22 июня 1966 года экраноплан КМ, самый крупноразмерный для своего времени летательный аппарат на земле, был спущен на воду.
В начале 1970-х годов ЦКБ по СПК был дан заказ на постройку десантного экранолёта «Орлёнок». 3 ноября 1979 года первый в мире десантный корабль-экранолёт был принят как боевая единица в состав ВМФ. Он получил штатный номер МДЭ-160 (малый десантный экраноплан).
14 января 1980 года находясь на испытаниях модели нового пассажирского экранолета (который должен был быть завершен к Московской Олимпиаде-80) Алексеев получил травмы. Это произошло при спуске модели на воду. 17 января 1980 года Алексеев был госпитализирован и после двух операций скончался 9 февраля 1980 года. Похоронен на Бугровском кладбище Нижнего Новгорода.
Был женат, дочь Татьяна, сын Евгений.