Родился 30 октября 1728 года в имении близ деревни Сломянцы недалеко от Гродно. Происходил из древнего шляхецкого рода Почобутов. 20 февраля 1536 года его предок — Николай Почобут-Одляницкий получил от короля Сигизмунда I дворянский титул и герб Малая Погоня. Отец — гродненский кравчий, а после обозный Казимир, мать — Елена из Глебовичей.
Учился в гродненской иезуитской коллегии (1740—1743). В 1745 вступил в орден иезуитов, двухлетний новициат прошёл в Вильне. Затем учился в Слуцкой педагогической семинарии и в Полоцкой иезуитской коллегии. В 1753—1754 изучал философию в Виленской иезуитской академии и университете, заинтересовался астрономией и для совершенствования знаний был направлен в Прагу. В 1756 вернулся и продолжил занятия теологией и астрономией. Получив в 1761 степень бакалавра теологии, вновь выехал за границу для совершенствования знаний в астрономических обсерваториях Марселя, Авиньона, Неаполя. По возвращении в Вильну в 1764 получил степень магистра философии и свободных наук. С того же 1764 профессор Виленской иезуитской академии и университета, которую в 1780 реорганизовал в Главную виленскую школу и стал её ректором (1780—1803). В 1778 избран членом-корреспондентом Французской академии наук. Во время восстания 1794 года Почобут вошёл в состав временного правительства повстанцев в Литве.
Принимал участие в деятельности Эдукационной комиссии, реформировавшей систему образования в Речи Посполитой. По его инициативе в Главной школе были учреждены два отделения — физическое, то есть естественных наук с факультетами математики, физики, и медицины, и отделение моральных наук с факультетами логики и права. По предложению Почобута в Главную школу были приглашены Жан Эммануэль Жилибер, Иероним Стройновский и другие учёные.
Завершил строительство виленской астрономической обсерватории, начатое Томашем Жебровским, в комплексе университетских зданий и был её первым директором (1765—1807). По его указаниям архитектор Мартин Кнакфус возвёл пристройку к обсерватории с двумя симметричными боковыми башнями, предназначенными для астрономических наблюдений.
Почобут заботился о приобретении для обсерватории новейшего астрономического оборудования. Под его руководством на протяжении 39 лет велись практические наблюдения. Они отражались в специальных рукописных журналах, в которых ежедневно фиксировались расположения небесных тел, их движение и т. п. Определил географические координаты Вильно, Гродно и других городов.
После посещения Мартином Почобутом обсерваторий в Англии, Дании, Германии, Голландии, Франции (1768—1769) в виленской обсерватории были организованы наблюдения за солнечными пятнами и разработка способов определения расстояния между Землёй и Солнцем. Из астрономических работ особенно заслуживают внимания наблюдения над Меркурием, послужившие Лаланду материалом для составления новых астрономических таблиц. Наблюдал кометы, астероиды, затмения Солнца и Луны. В 1773 году рассчитал положение 16 звёзд, расположенных недалеко от созвездия Щита Собесского. В 1777 году сформировал из мелких звёзд созвездие Телец Понятовского, расположенное недалеко от Эридана и названное в честь последнего польского короля Станислава Августа Понятовского. Почобут полагал, что группа звезд, из которой он сформировал новое созвездие, похоже на астеризм Гиады в Тельце. Созвездие Телец Понятовского в науке не было принято.
Помимо астрономии занимался также геодезией и картографией. 24 февраля 1766 года установил точные географические координаты Вильны, рассчитал географическую долготу, на которой лежит Гродно, и уточнил долготу Вильны. По замечанию литовского историка Альфредаса Бумблаускаса, 5 августа 1793 года во время заседаний сейма в Гродно, который должен был отменить Конституцию 3 мая и одобрить новый договор между Речью Посполитой и Российской империей, тем самым утвердив второй раздел Речи Посполитой, Станислав Август отправился вместе с Почобутом и российским посланником Я. Е. Сиверсом в расположенный неподалеку Августов наблюдать солнечное затмение. Во время этих наблюдений был получен важный научный результат — уточнены географические координаты Вильны и установлены координаты Гродно. По иронии истории, с уточнением расположения столицы Великого княжества Литовского на карте с политической карты Европы исчезло само государство
Автор ряда работ по астрономии и перевода труда по геометрии.
Писал стихи на латинском и русском языках. Автор од, направленных против войн. Интересна его переписка с Яном Снядецким, где прослеживаются просветительские взгляды Почобут-Одляницкого.
На стене западного корпуса Двора обсерватории в ансамбле Вильнюсского университета располагается мемориальная таблица в память Мартина Почобута-Одляницкого с текстом на польском языке, в котором, помимо дат жизни, перечислены его достоинства и заслуги как мужа большой образованности и справедливого характера, организатора астрономической обсерватории и заботливого ректора Главной школы.
Именем Почобута-Одляницкого назван кратер на обратной стороне Луны.