Родился в городе Старицы, по окончания сельской школы поступил на службу в Тверскую уголовную палату копиистом, но вскоре занял должность канцеляриста. С 1779 по 1784 год исполнял должность главного губернского механика в Твери. Увлекался механикой и конструировал часы, благодаря которым о нём и узнала императрица Екатерина II. По её повелению Лев Фёдорович был послан в Англию для изучения практической механики, где пробыл с 1784 по 1786 год. Особенное его внимание привлекали паровые, или «огненные», машины. По возвращении в Россию Сабакин одной из задач своей деятельности сделал распространение в русском обществе сведений по практической механике. За свои заслуги был произведен в чин коллежского асессора.
С 1797 по 1799 год второй раз посещает Англию для знакомства с постановкой монетного дела.
В 1799 году назначается в Екатеринбург механиком «при канцелярии главного заводоуправления». В 1805 году переезжает на Воткинский завод, вскоре в чине надворного советника уходит в отставку, но продолжает усовершенствовать и изобретать станки, машины и приспособления.
Некоторые источники предполагают, что Сабакин в начале 1770-х годов завел семью и у него родилось трое детей — дочь Анна (мать Павла Аносова) и сыновья Александр (1774) и Иван (1780).
В 1806 году взял на воспитание своего внука Павла Аносова — будущего металлурга, изобретателя русского булата, оставшегося сиротой.
Умер в августе 1813 года.
Перевёл с английского сочинения английского механика Дж. Фергюссона «Лекции о разных предметах касающихся до механики, гидравлики и гидростатики, как то: о материи и её свойствах, о центральных силах, о механических силах, о мельницах, о кранах, о тележных колёсах, о машине колотить сваи и о гидравлических и гидростатических машинах вообще» (СПб., 1787).
К этому переводу Сабакин присоединил собственную статью «О огненных машинах», напечатанную также в 1788 году отдельно; «Малое здание, или разговоры, касающееся до астрономии, физики и механики, основанные на ясных доказательствах и самопростейших опытах» (М., 1789).
Известные изобретения: