Окончил Ейское военно-морское авиационное училище им. И. В. Сталина в 1955 году, проходил службу в морской авиации.
В 1960 году был отобран для подготовки к космическому полёту. 7 марта 1960 года был зачислен в первый отряд советских космонавтов. Проходил подготовку к космическому полёту на корабле «Восток». После прохождения курса подготовки, 3 апреля 1961, успешно выдержал экзамен. 4 апреля 1961 года Иван Аникеев был зачислен в космонавты.
17 апреля 1963 года отчислен из отряда космонавтов за нарушение дисциплины. Вместе с товарищами по отряду космонавтов Григорием Нелюбовым и Валентином Филатьевым, находясь в нетрезвом состоянии, оказали сопротивление военному патрулю.
После отчисления из отряда космонавтов Иван Аникеев продолжил службу в Военно-воздушных силах. Продолжал летать до выхода в отставку.
После выхода в отставку, проживал в городе Бежецк, Калининская область. Умер от рака на 60-м году жизни. Похоронен на Новом кладбище в Бежецке.