Летом 1941 года Штурм в звании фельдфебеля был направлен в 6./JG 52 и до конца этого года сумел сбить свои первые три самолёта противника.
Затем Генриха перевели в лётную школу истребителей, где он служил в качестве инструктора. Сумел вернуться на фронт лишь в ноябре 1942 года. Был приписан ко 2-й Группе своей «старой» эскадры — JG 52. До 17 декабря 1942 года одержал ещё 6 воздушных побед. Звание лейтенанта Штурму присвоили 1 января 1943 года. Год стал очень результативным для немецкого аса: 15 апреля он сбил свой 20-й самолёт, 20 апреля одержал ещё 5 воздушных побед, 30 июня довёл свой личный счёт до 40, а 30 ноября до 75 побед. 1 сентября 1943 года Генрих был назначен командиром 4-й эскадрилии JG 52. Сотая победа пришла к нему 23 марта 1944 года. 3 дня спустя Штурм был награжден Рыцарским крестом. Всего лишь через месяц, 16 апреля, немецкий ас был тяжело ранен осколком бомбы на аэродроме мыса Херсонес в Крыму во время налёта советских бомбардировщиков.
В августе 1944 года Штурм был выписан из госпиталя и принял командование 5-й эскадрилией JG 52, на этот момент его личный счёт составлял 111 сбитых самолётов противника. Свои последние 2 воздушные победы ас одержал 22 декабря 1944 года. В тот же день, взлетая с аэродрома, Bf-109G-6 (заводской номер 442036) Генриха стойкой шасси зацепил грузовик, неожиданно выехавший на взлётную полосу. Ас погиб..