Генрих Эрлер начал свою карьеру в Люфтваффе в начале 1940 года, когда он начал обучение на пилота после перевода из соединения зенитной артиллерии. Эрлер присоединился к 4./Jagdgeschwader 77 «Herz As» и в мае 1940 года одержал свою первую победу. В 1942 году JG 77 был реорганизован в Jagdgeschwader 5 «Eismeer». JG 5 действовало с баз на севере Норвегии и Финляндии и было, в основном, направлено против советских самолётов, но также занималось перехватом британских налётов на Норвегию.
Эрлеру не удавалось достичь второй победы до 19 февраля 1942 года. После своей 11-й победы 20 июля 1942 года он был повышен до звания лейтенанта и назначен командиром эскадрильи (нем. Staffelkapit?n) в 6./JG 5. 4 сентября он был награждён Рыцарским крестом Железного креста за 64 воздушные победы. 1 июня 1943 года Эрлеру было присвоено звание капитана (нем. Hauptmann) и он был назначен командиром группы (нем. Gruppenkommandeur) II./JG 5. 2 августа 1943 года он был награждён Дубовыми листьями к Рыцарскому кресту за 112 побед. 25 мая 1944 года Эрлеру удалось одержать девять побед в один день, а общее число его побед к этому времени составило 155. 1 августа он был назначен командиром эскадры (нем. Geschwaderkommodore) JG 5 и в то же время повышен до майора.
12 ноября 1944 года военно-воздушные силы Великобритании начали налёт, целью которого был линкор Тирпиц. Бомбардировщики Avro Lancaster из эскадрилий 617 и 9 были посланы к острову Хакёйя на западе от Тромсё, где базировался Тирпиц.
Эрлер в это время располагался на аэродроме Бардуфосса с 9./JG 5, имея в распоряжении 12 самолётов Focke-Wulf Fw 190 A-3. Эскадрилья была в состоянии 10-минутной готовности по причине постоянного давления со стороны британских бомбардировщиков в районе Тромсё. Когда Эрлер поднял свои самолёты в воздух, он получил противоречащие друг другу сообщения о том, где находились самолёты противника. По одним сообщениям целью налёта была Алта, по другим — Будё. Когда стало ясно, что целью был Тирпиц, было слишком поздно — истребители были далеко и не могли ничего сделать, чтобы предотвратить потопление линкора.
После этих неудачных действий Эрлер предстал перед военным трибуналом. Эрлера обвиняли в том, что он был слишком занят достижением своей 200-й победы и не понял всей серьёзности атаки. Сначала он был приговорён к смерти, но позже приговор был заменён на 3 года заключения в крепости (нем. Festungshaft), которое нужно было отбывать после окончания войны. Это позволило ему продолжать летать, но от командования Эрлер был освобождён. Поздние расследования пришли к выводам, что причиной неудачи были не действия Эрлера, а плохая коммуникация, особенно между кригсмарине и люфтваффе. Лётный экипаж не знал, что Тирпиц был перемещён к острову Хакёйя за несколько недель до потопления.
Эрлер был рекомендован к Мечам к Рыцарскому кресту Железного креста с Дубовыми листьями, но запрос был отклонён.
После того, как Эрлер был освобождён от командования, 27 февраля 1945 года его перевели в JG 7. JG 7 был оснащён реактивными самолётами Мессершмитт Me.262 и перед ним была поставлена задача Защиты Рейха (нем. Reichsverteidigung). В течение следующих пяти недель Эрлер одержал ещё 6 побед, чем довёл общее количество сбитых им самолётов до 208.
Точные обстоятельства смерти Эрлера неизвестны. В официальном отчёте о потере за подписью Вайссенбергера говорится о том, что последний вылет был совершён Эрлером 6 апреля, но в американских источниках не сообщается ни о каких боях с Me.262 6 апреля, поэтому, возможно, бой проходил на два дня раньше, 4 апреля. Эрлер вступил в бой с бомбардировщиками B-17 «Летающая крепость» и сбил или хотя бы повредил двух из них. Вслед за этим он был сбит американским истребителем P-51 около Шарлиббе. По одному из немецких отчётов, перед смертью Эрлер радировал Вайссенбергеру «Тео, я только что использовал все свои боеприпасы. Я иду на таран! Увидимся в Валгалле!». В то же время в свидетельстве о смерти Эрлера, подписанном Вайссенбергером и Вальтером Шуком, сказано только то, что Эрлер не вернулся с задания, а его тело было обнаружено около Штендаля. 10 апреля Эрлер был похоронен на кладбище Штендаля.