Родился в Пеште, воспитывался в иезуитской школе, некоторое время служил в австрийской армии как специалист по геодезии и военно-инженерному делу. С 1783 по 1786 годы жил в Лондоне в качестве домашнего учителя посла Саксонии в Англии. За это время он получил степень доктора философии и юриспруденции в Оксфордском университете и начал научную деятельность, опубликовав в 1785 году в английском журнале «Philosophical Transactions» результаты нескольких астрономических наблюдений.
Из научных трудов Цаха по астрономии важнейшими были: составление нового звездного каталога вместе с требуемыми им наблюдениями, значительное число точных новых определений положений солнца, соединенных в его «Таблицах движений солнца». Также внёс большой вклад в исследования астероидов. В конце XVIII века он создал группу из 24 астрономов для системных поисков «отсутствующей планеты» между орбитами Марса и Юпитера, которая должна была там находиться согласно правилу Тициуса-Боде. Вскоре после открытия Д.Пиации первой малой планеты — Цереры — она была потеряна и найдена вновь благодаря усилиям Цаха и его единомышленников.
Наряду с астрономией, большое внимание Цах уделял работам области геодезии. Определил с помощью секстанта координаты многих городов.
В 1798 году основал и редактировал научный журнал Allgemeine Geographische Ephemeriden (в 1798—1799 вышло 4 тома), который в 1800 году был переименован в Monatliche Correspondenz zur Bef?rderung der Erd- und Himmels-Kunde и выходил до 1913 года. Этот журнал был важнейшим астрономическим изданием на протяжении всего XIX века.
В 1794 году избран иностранным почётным членом Петербургской академии наук, в том же году — членом Шведской королевской академии наук.
В его честь назван кратер на Луне и астероид № 999. Кроме того, астероид № (64) Ангелина был назван в честь обсерватории под Марселем, организованной Цахом.