Родился в Саранске (по другим источникам — в Шишквиче Пензенской губернии). Учился, как и его брат Василий, в Казанской гимназии. В 1808 стал одним из первых выпускников Казанского университета. В 1809—1816 годах преподавал математику и физику в Симбирской гимназии. В Симбирске он написал диссертацию о законе Ньютона, за которую в 1813 году получил от Казанского университета степень магистра.
В 1818—1851 годах преподавал в Московском университете (с 1826 — профессор астрономии, май 1833 — май 1835 и февраль 1836 — апрель 1848 — декан отделения физических и математических наук, 1848—1851 — ректор). По его инициативе и под его руководством в 1830—1832 годах была построена Московская университетская обсерватория, которую он возглавлял до 1851 года.
Уйдя в отставку в 1851 году, поселился в Санкт-Петербурге и работал в Петербургской Академии наук. С 20 января 1855 года Д. М. Перевощиков — академик Петербургской АН.
Основные оригинальные исследования в астрономии — в области небесной механики. Изучал орбитальное движение планет под влиянием возмущающего действия других планет и вычислил изменения элементов возмущенных орбит с большой точностью. Его труд «Вековые возмущения семи больших планет» (СПб., 1859—1861) явился дальнейшим развитием классических исследований Ж. Л. Лагранжа и П. С. Лапласа. Вошёл в историю отечественной науки также как выдающийся педагог и популяризатор науки. Воспитал много известных математиков и астрономов. Создал серии учебников по астрономии и математике, положив начало учебной математической литературе; написал первые на русском языке курсы астрономии: «Руководство к астрономии» (1826), «Основания астрономии» (1842), «Предварительный курс астрономии» (1847) и др. Статьи Перевощикова по истории астрономии, которые печатались в журналах «Современник», «Отечественные записки» и других, сыграли большую роль в распространении научных знаний в России. Из сочинений его следует упомянуть: «Главные основания аналитической геометрии трех измерений» (Москва, 1822), «Ручная математическая энциклопедия» в 13 томах, «Теория планет» (СПб., 1863—1868), «Гауссов способ вычислять элементы планет» (СПб., 1853), несколько статей о предварении равноденствий (1851—1859), «О фигуре Земли» (1854), переводы курсов анализа Франкёра, Байи.
Большое значение имели проведенные Перевощиковым исследования научного наследия М. В. Ломоносова, особенно его работ по физике, атмосферному электричеству, географии. Перевощиков установил приоритет Ломоносова в открытии атмосферы Венеры и значение этого открытия для утверждения гелиоцентрического мировоззрения.