Константин Иванович Давыдов родился 23 октября 1918 года в Нижнем Новгороде в семье рабочего завода Ивана Фёдоровича Давыдова. В 1933 году Константин Иванович кончил 7 классов школы-десятилетки № 7 имени баррикад 1905 года (ныне лицей № 82) и поступил школу ФЗУ при заводе «Новое Сормово» (ныне производственное объединение «Нижегородский машиностроительный завод»). После окончания ФЗУ работал токарем на заводе «Новое Сормово» и одновременно учился в аэроклубе. В 1938 году был призван в Красную Армию. В 1940 году окончил Энгельсское военное авиационное училище и получил направление в авиационный полк под Одессу. В марте 1941 года был направлен инструктором в Ташкентскую военную авиационную школу, которая находилась в городе Чирчик.
В действующей армии с ноября 1941 года. С декабря 1941 года воевал на Ленинградском фронте. Летом 1942 года освоил скоростной, бронированный штурмовик Ил-2. Участвовал в боях на Дону, на Кубани. В 1943 году в воздушном бою сбил вражеский истребитель. После тяжёлого ранения в голову два месяца провёл в госпитале. Вернулся в действующую армию. Освобождал Польшу. Войну закончил в Германии. Командир эскадрильи 657-го штурмового авиационного полка (196-я штурмовая авиационная дивизия, 4-й штурмовой авиационный корпус, 4-я воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) капитан Давыдов Константин Иванович к 20 марта 1945 года совершил 163 боевых вылета. Из них 53 ночью, на штурмовку противника, 45 вылетов на тихоходном самолёте Р-5: ночью — на бомбометание, днём — на разведку.
Звание Героя Советского Союза присвоено Указом Президиума Верховного Совета СССР 18 августа 1945 года.
В 1948 году К. И. Давыдов был назначен командиром отряда Центрального аэроклуба СССР имени В. П. Чкалова.
28 октября 1949 года Давыдов погиб в авиационной катастрофе.
Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.
В Нижнем Новгороде именем Давыдова Константина Ивановича названы одна из улиц и ПТУ № 26. На здании ПТУ и лицея № 82 установлены мемориальные доски. Имя К. И. Давыдова вписано на стеле площади Героев и памятном знаке у Вечного огня на территории Нижегородского машиностроительного завода.