Родился 7 апреля 1923 году в городе Вологда в семье рабочего. Окончил 9 классов. Русский.
В 1941 году был призван в Красную Армию. В первые же дни Великой Отечественной войны Борис Образцов по личной просьбе получил путевку в военно-авиационную школу пилотов. Вот строки из письма родным:
Член ВКП(б) с 1943 года.
В 1944 году окончил Борисоглебскую военно-авиационную школу пилотов. С июля 1944 года — лётчик 853-го авиационного пока по перегону самолётов, осуществлял перегон истребителей с авиазаводов на фронтовые аэродромы. После Победы продолжил службу в ВВС СССР.
В 1945—1946 годах — лётчик-инструктор 51-го и 50-го отдельных учебно-тренировочных авиационных полков (Московский военный округ). С сентября 1946 года служил в строевых частях ВВС (Белорусский и Московский военные округи).
Участник войны в Корее с марта 1951 года в должности лётчика 1-й эскадрильи 176-го гвардейского истребительного авиационного полка. Выполняя боевые задания командования, гвардии старший лейтенант Образцов совершил 56 боевых вылетов. Летал ведомым у С. П. Субботина (9 побед), П. С. Милаушкина (11 побед) и других. Ни разу не допустил сбитие или подбитие своих ведущих. Провел 18 воздушных боев в которых лично сбил 4 американских самолёта.
11 июля 1951 года во время боевого вылета в групповом бою сбил один самолёт, но и сам был подбит. Тяжело раненный, он совершил вынужденную посадку (по другой версии, покинул самолёт в воздухе без катапультирования), но при доставке в госпиталь умер от потери крови. Предполагается, что он был сбит 1-м лейтенантом Ральфом Гибсоном из 335-й эскадрильи 4-го крыла истребителей-перехватчиков ВВС США.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 октября 1951 года за мужество и отвагу, проявленные при выполнении воинского интернационального долга, гвардии старшему лейтенанту Образцову Борису Александровичу посмертно присвоено звание «Героя Советского Союза».
Строки из письма сослуживцев Б. А. Образцова к его матери Александре Михайловне:
Похоронен на русском воинском кладбище в городе Порт-Артур (Люйшунь).