Асафов родился в 1886 году в Кронштадте, в семье рабочего пароходного завода.
С детства мечтая выучиться на морского инженера, поступил в Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, который окончил в 1911 году. Работал на Адмиралтейском заводе, занимался строительством подводных лодок под руководством автора проектов, профессора И. Г. Бубнова.
В течение пяти лет работал на верфях в Ревеле, где производилось серийное строительство подводных лодок типа «Барс».
После революции, в 1918 году, вернулся в Петроград, где руководил ремонтом субмарин на Адмиралтейском и Балтийском заводах. С 1924 года — начальник Севзапвоенпрома, позже — главный инженер Сестрорецкого оружейного завода.
В 1928 году арестован, попал в шарашку «Остехбюро» при ОГПУ, где выдвинул идею создания быстроходной эскадренной подводной лодки с мощным артиллерийским вооружением, предназначенной для ведения боевых действий совместно с надводными кораблями. Проект был одобрен и получил название «Правда» в честь одноимённой газеты. Всего было построено три корабля. Серия была признана в целом неудачной, но послужила прообразом одного из самых совершенных проектов подводных лодок тех лет — типа «К».
В 1932 году Асафова освобождают и назначают главным инженером Техбюро № 4, где Асафов ведёт работу над созданием проекта малой субмарины, способной к транспортировке по железной дороге в любой конец СССР. Проект получил наименование серия VI «Малютка». Из-за отказа от некоторых предложений Асафова при испытаниях головной «Малютки» были показаны неудовлетворительные результаты. Так, время погружения было вдвое дольше проектного, а скорость — гораздо ниже проектной. Асафова повторно арестовывают по обвинению во вредительстве. Настоящие причины смерти в 1933 году не ясны до сих пор.
Был арестован 4 февраля 1930 года. Приговорен: КОГПУ 28 июня 1931, обвинён по статье 58-7, 11. Приговор: 5 лет концлагеря условно, освободить. Реабилитирован 24 сентября 1990 года.
В дальнейшем, после принятия отвергнутых ранее предложений и ряда конструктивных доработок, «Малютки» пошли в серию. Всего было выпущено 30 лодок по проекту Асафова, ещё 20 по несущественно доработанному позднее проекту. Работу продолжил последователь Асафова, П. И. Сердюк, разработавший свой проект «Малютки», известный как серия XII, ставший ещё более массовым (45 лодок).
Проживал: Ленинград, ул. Троицкая 23?94.
Умер в 1933 году, похоронен в Ленинграде(Санкт-Петербурге) , на Новодевичьем кладбище.