Родился в Москве в семье военнослужащего. Отец Иван Павлович Лавейкин — Герой Советского Союза.
Учился в Московской спецшколе № 57 с углублённым изучением немецкого языка, которую окончил в 1968 году. После школы поступил в Московское высшее техническое училище имени Н. Э. Баумана на машиностроительный факультет по специальности «Производство космических аппаратов», которое закончил в 1974 году.
После училища работал в конструкторском бюро, где принимал участие в создании и испытании космической техники.
В 1978 году принят в отряд космонавтов, где прошёл полный курс общекосмической подготовки и курс подготовки к космическим полётам на космических кораблях «Союз ТМ» и орбитальных станциях «Мир» и «Салют».
Первый космический полёт совершил 6 февраля 1987 года к орбитальной станции «Мир» в качестве бортинженера корабля «Союз ТМ-2» (командиром корабля был Юрий Романенко). На станции проработал до 30 июля 1987 года, после чего вернулся на Землю с советско-сирийским экипажем экспедиции посещения. Общая длительность полёта составила 174 суток 3 часа 25 минут и 56 секунд. Во время пребывания на станции Александр Лавейкин три раза выходил в открытый космос, где провёл в общей сложности 8 часов 48 минут.
В отряде космонавтов проработал как инструктор-космонавт-испытатель 2-го класса до 28 марта 1994 года. Ушёл в связи с выходом на пенсию по выслуге лет.
Проживает в Москве, является президентом региональной общественной организации Героев Советского Союза, лётчиков-космонавтов СССР «Аэрокосмос XXI век», заместителем директора Мемориального музея космонавтики по научной работе.