Александр Федорович Клубов родился 18 января 1918 года в деревне Яруново Вологодской губернии в семье крестьянина-бедняка. Отец Александра — Фёдор Михайлович — служил матросом на легендарном крейсере «Аврора» и был участником Октябрьской революции, однако в 1921 году во время проведения раскулачивания в деревне, был убит местными кулаками.
По окончании семилетней школы Александр уехал в Ленинград. Там поступил в школу фабрично-заводского обучения. Работал на заводе «Большевик». Свободное время проводил в аэроклубе, где и овладел мастерством пилота. В 1939 году Александр Клубов пошел добровольцем в армию. Направлен командованием в военно-авиационное училище. На выпускных экзаменах большинство предметов он сдал на «отлично» и стал летчиком-истребителем. После окончании училища в 1940 году был направлен в одну из авиационных частей, расположенных на юге, вблизи Кавказских гор.
Великая Отечественная война застигла младшего лейтенанта Клубова в Закавказье. В первом же воздушном бою 28 июля 1941 года он сбил вражеский самолёт. Вскоре на его счету появились несколько сбитых вражеских самолетов. За мужество и отвагу Александр Клубов был награжден орденом Красного Знамени, а затем — орденом Отечественной войны I степени. За ним прочно укрепилась слава воздушного «аса».
В мае 1943 года Александр Клубов был направлен в эскадрилью Героя Советского Союза Александра Ивановича Покрышкина. Между двумя боевыми летчиками завязалась крепкая дружба. Перенимая опыт своего учителя, Клубов выработал определенную манеру драться и в совершенстве овладел искусством маневра. В самых ожесточенных схватках он умел навязать свою волю противнику. Александр Покрышкин, впоследствии трижды Герой Советского Союза, дал исчерпывающую характеристику боевому другу:
За три месяца пребывания в 16-м гвардейском авиационном полку 9Гв.иад, 2ВА, которым командовал А. И. Покрышкин, летчик-истребитель Клубов участвовал в 28 воздушных боях и лично сбил десять самолетов противника. За это он был награждён орденом Красного Знамени и орденом Александра Невского.
Всего за годы войны летчик-истребитель А. Ф. Клубов совершил 457 боевых вылетов. Лично сбил 31 самолет противника и ещё 19 в группе.
14 апреля 1944 года указом Президиума Верховного Совета СССР А. Ф. Клубову было присвоено звание Героя Советского Союза.
Александр Клубов погиб 1 ноября 1944 года на одном из прифронтовых аэродромов Турне (Польша) при неудачном капотировании самолёта, во время тренировочного полета на новейшем истребителе Ла-7 (до этого он летал на самолёте Р-39 «Аэрокобра»). На момент гибели занимал должность помощника командира истребительного полка по воздушно-стрелковй службе. Спустя некоторое время гвардии капитан Клубов был посмертно награжден второй медалью «Золотая Звезда».
Похоронен 1 ноября 1944 года во Львове на Холме Славы. 22 июня 2001 года, в 60-ю годовщину начала Великой Отечественной войны, по просьбе родственников прах А. Клубова был перезахоронен на Введенском воинском кладбище в Вологде.