Александр Дмитриевич Анискин родился в рабочей семье. После окончания неполной средней школы пошёл работать токарем на металлургической завод. Посещал планерную школу без отрыва от производства, после её успешного окончания был зачислен в Днепропетровский аэроклуб. В 1938 году был призван в армию и получил направление в Качинскую школу пилотов, которую окончил в 1940 году.
С начала Великой Отечественной войны на фронте в составе 92-го истребительного Краснознаменного авиационного полка 16-ой авиационной дивизии Юго — Западного фронта . Уже в июне 1941 года А. Анискин совершил первый боевой вылет в составе группы прикрытия наших бомбардировщиков. К августу 1941 года он имел 3 сбитых вражеских самолёта и 40 отлично проведённых штурмовок, за что был награждён орденом Красного Знамени.
В августе 1942 года А. Д. Анискин прибыл в 434-й истребительный авиаполк, в составе которого воевал под Сталинградом. Был награждён вторым орденом Красного Знамени за уничтожение двух самолётов противника (один — лично, второй — в группе). В декабре 1942 — феврале 1943 годов, участвуя в боях на Калининском фронте, старший лейтенант Анискин лично сбил 4 самолёта противника. К февралю 1943 года старший летчик 32-го гвардейского истребительного авиационного полка старший лейтенант А. Д. Анискин имел на своём счету 295 боевых вылетов, принимал участие в 105 воздушных боях, уничтожил 10 самолетов противника.
20 февраля 1943 года А. Д. Анискин погиб в воздушном бою в районе Старой Руссы, доведя число своих побед до 11.